Question

设圆满足(1)y轴截圆所得弦长为2.(2)被x轴分成两段弧，其弧长之比为3∶1，在满足(1)、(2)的所有圆中，求圆心到直线l:x－2y=0的距离最小的圆的方程．

Answer 1

设圆的圆心为P(a,b),半径为r，则P到x轴，y轴的距离分别为｜b｜、｜a｜，由题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°,故圆P截x轴所得弦长为r=2b.   
∴r²=2b²          ①
又由y轴截圆得弦长为2，  ∴r²=a²+1        ②
由①、②知2b²－a²=1.又圆心到l:x－2y=0的距离d=,
∴5d²=(a－2b)²=a²+4b²－4ab≥a²+4b²－2(a²+b²)=2b²－a²=1.当且仅当a=b时“=”号成立，
∴当a=b时，d最小为，由
得或由①得r=.
∴(x－1)²+(y－1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2为所求．

同答案