Question

数列{a_n}中a₁=

1

2

，前n项和 S_n=n²a_n-2n（n-1），n∈N^*．
（I）证明数列{

n+1

n

S_n}是等差数列；
（Ⅱ）求S_n关于n的表达式；
（Ⅲ）设b_n=

1

n2(2n-1)

S_n，数列{b_n}的前 n项和为 T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（I）利用等差数列的定义即可证明数列{

n+1

n

S_n}是等差数列；
（Ⅱ）结合数列{

n+1

n

S_n}是等差数列，即可求S_n关于n的表达式；
（Ⅲ）利用裂项法即可求数列{b_n}的前 n项和为 T_n．

解答： 解：（I）当n≥2时，S_n=n²a_n-2n（n-1）=S_n=n²（S_n-S_n-1）-2n（n-1），
∴（n²-1）S_n-n²S_n-1=2n（n-1），
两边除以2n（n-1），得

n+1

n

S_n-

n

n-1

Sn-1=2，
则数列{

n+1

n

S_n}是公差d=2的等差数列；
（Ⅱ）当n=1时，首项为2S₁=2×

1

2

=1，
∵数列{

n+1

n

S_n}是公差d=2的等差数列；
∴

n+1

n

S_n=1+2（n-1）=2n-1，
则S_n=

n(2n-1)

n+1

；
（Ⅲ）b_n=

1

n2(2n-1)

S_n=

1

n2(2n-1)

×

n(2n-1)

n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
则数列{b_n}的前 n项和为 T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题主要考查等差数列的证明以及数列求和，要求熟练掌握利用裂项法求和的技巧．