Question

10．某工厂打算建造如图所示的圆柱形容器（不计厚度，长度单位：米），按照设计要求，该容器的底面半径为r，高为h，体积为16π立方米，且h≥2r．已知圆柱的侧面部分每平方米建造费用为3千元，圆柱的上、下底面部分每平方米建造费用为a千元，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，该容器的建造总费用为y千元．
（1）求y关于r的函数表达式，并求出函数的定义域；
（2）问r为多少时，该容器建造总费用最小？

Answer 1

分析 （1）设容器的容积为V，利用体积公式化简求解即可．
（2）求出函数的导数$y'=4πar-\frac{96π}{r^2}（{0＜r≤2}）$，求出极值点利用函数的单调性求解最值即可．

解答 解：（1）设容器的容积为V，
由题意知V=πr²h=16π，故$h=\frac{16}{r^2}$，…..（2分）
因为h≥2r，所以0＜r≤2，…．（4分）
故建造费用$y=2πrh×3+2π{r^2}a=6πr×\frac{16}{r^2}+2π{r^2}a$，
即$y=2πa{r^2}+\frac{96π}{r}，0＜r≤2$．…．（6分）
（2）由（1）得$y'=4πar-\frac{96π}{r^2}（{0＜r≤2}）$，
令y'=0得$r=2\root{3}{{\frac{3}{a}}}$，…..（8分）
①当$0＜2\root{3}{{\frac{3}{a}}}＜2$即a＞3时，
若$r∈（{0，2\root{3}{{\frac{3}{a}}}}）$，则y'＜0，函数单调递减；
若$r∈（{2\root{3}{{\frac{3}{a}}}，2}）$，则y'＞0，函数单调递增；
所以$r=2\root{3}{{\frac{3}{a}}}$时，函数取得极小值，也是最小值．…（12分）
②当$2\root{3}{{\frac{3}{a}}}≥2$即0＜a≤3时，
因为r∈（0，2]，则y'＜0，函数单调递减；
则r=2时，函数取得最小值．…（14分）
综上所述：若a＞3，当$r=2\root{3}{{\frac{3}{a}}}$时，建造总费用最少；
若0＜a≤3，当r=2时，建造总费用最少．…..（16分）

点评 本题考查实际问题的应用，函数的解析式的求法，导数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．