Question

已知函数函f（x）=x|x|-2x  （x∈R）
（1）判断函数的奇偶性，并用定义证明；
（2）作出函数f（x）=x|x|-2x的图象；
（3）讨论方程x|x|-2x=a根的情况．

Answer 1

分析：（1）利用零点分段法，我们易将函数的解析式化为分段函数的形式，然后根据分段函数奇偶性的判判断方法，分类讨论，即可得到结论．
（2）根据分段函数图象分段画的原则，结合（1）中函数的解析式及二次函数图象的画法，即可得到函数的图象；
（3）根据（2）中的图象，结合函数的极大值为1，极小值为-1，我们易分析出方程x|x|-2x=a根的情况．

解答：解：（1）∵f（x）=x|x|-2x=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

∴当x＞0时，-x＜0，故f（-x）=-x²+2x，=-f（x）
当x＜0时，-x＞0，故f（-x）=x²+2x=-f（x）
当x=0时，-x=0，故f（-x）=-f（x）=0
综上函数f（x）=x|x|-2x为奇函数
（2）由（1）中f（x）=x|x|-2x=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

则函数的图象如下图所示：

（3）由图可知：
当a＜-1，或a＞1时，方程x|x|-2x=a有一个根；
当a=-1，或a=1时，方程x|x|-2x=a有二个根；
当-1＜a＜1时，方程x|x|-2x=a有三个根；

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数奇偶性的判断及二次函数的图象，其中要判断方程x|x|-2x=a根的情况．关键是要画出函数的图象，数形结合得到结论．