Question

12．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$b=\frac{1}{2}$，$bsinA=asin\frac{B}{2}$，则S_△ABC的最大值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{8}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{16}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{24}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{48}$

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知等式可求$cos\frac{B}{2}=\frac{1}{2}$，进而可求B，由余弦定理，基本不等式可求$ac≤\frac{1}{12}$，进而利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：由正弦定理知：$sinBsinA=sinAsin\frac{B}{2}$，即$2sin\frac{B}{2}cos\frac{B}{2}sinA=sinAsin\frac{B}{2}$，
故$cos\frac{B}{2}=\frac{1}{2}$，
所以$B=\frac{2π}{3}$，又$b=\frac{1}{2}$，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²+ac≥3ac，
∴$ac≤\frac{1}{12}$，
故${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB≤\frac{{\sqrt{3}}}{48}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．