Question

以如图,在平面直角坐标系中,一条定长为m的线段,其端点A、B分别在x、y轴上滑动,设点M满足=λ(λ是不等于1的正常数),试问:是否存在两个定点E、F,使得||、||、||成等差数列?若存在,求出E、F的坐标;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解：设点M的坐标为(x,y),A(a,0)、B(0,b),则a²+b²=m².

    由=λ，得

∴∴(1+λ)²x²+()²y²=m²,

    即=1.

    由λ＞0且λ≠1，知点M的轨迹为椭圆.

    假如存在两点E、F,使||、||、||成等差数列,则2||=||+||.因m、λ为定值,故2||=是定值,即||+||为定值.故E、F应为椭圆的焦点,且为长轴长,于是＞,即0＜λ＜1.

∴当0＜λ＜1时,存在两定点E、F,它们分别为椭圆=1的两焦点(m,0)及(-m,0);

    当λ＞1时,＞,M的轨迹是椭圆,半长轴长为,同时由假设知半长轴又为,矛盾,故此时不存在定点E、F.