Question

A、B、C是半径为1的球面上三点，B、C间的球面距离为

π

3

，点A与B、C两点间的球面距离均为

π

2

，且球心为O，求：
（1）∠AOB，∠BOC的大小；
（2）球心到截面ABC的距离；
（3）球的内接正方体的表面积与球面积之比．

Answer 1

分析：（1）根据球面距离的定义可得∠AOB、∠BOC、∠AOC的大小；
（2）欲求球心O到截面ABC的距离，将它看成是三棱锥的高，从而球心到截面ABC的距离可通过三棱锥的等体积法解决．
（3）球的内接正方体的对角线的长，就是球的直径，据此求出正方体的棱长，求出两个表面积即可确定比值．

解答：解：（1）∵球面距离?=θ•r（θ为劣弧所对圆心角），
且B、C间的球面距离为

π

3

，点A与B、C两点间的球面距离均为

π

2

，
故得∠AOB=

π

2

，
∠BOC=

π

3

，
∠AOC=

π

2

；
（2）∵OA=OB=OC=1，
∴AB=AC=

2

，BC=1，
∴S_△OBC=

3

4

，S_△ABC=

7

4

V₀-ABC=

1

3

•

3

4

•1=

1

3

•

7

4

•d，
∴d=

21

7

，球心到截面ABC的距离为

21

7

，
（3）设球的内接正方体棱长为a，
根据球的直径为正方体的对角线，
则

3

a=2，
∴a=

2 3

3

，
∴S_正方体：S_球面=6•(

2 3

3

)2：4Л=2：Л．

点评：本题主要考查了球的性质、点面间的距离计算，考查球的体积和表面积、球的内接体的知识，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．