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如图,已知椭圆
x2
m
+
y2
m-1
=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线交于A、B、C、D,设f (m)=||AB|-|CD||. 
(1)求直线AB的方程;
(2)求f(m)的解析式;
(3)求f(m)的最大、最小值.
考点:直线与圆锥曲线的综合问题
专题:圆锥曲线中的最值与范围问题
分析:(1)设椭圆的焦距为c,则c2=m-(m-1)=1,由此能求出直线AB的方程.
(2)由题意知A(-m,-m+1),D(m,m+1),椭圆的准线为x=±m,由
y=x+1
x2
m
+
y2
m-1
=1
,得:(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0,由此利用根的判别式和两点间距离公式能求出f(m)的解析式.
(3)由f(m)=
2
3
2-
1
m
,又m∈[2,5],由题意知2-
1
2
≤2-
1
m
≤2-
1
5
,由此能求出f(m)的最大、最小值.
解答: 解:(1)设椭圆的焦距为c,则c2=m-(m-1)=1,
则F1(-1,0),F2(1,0),
∴直线AB的方程为y=x+1.…(4分)
(2)由题意知A(-m,-m+1),D(m,m+1),椭圆的准线为x=±m,
y=x+1
x2
m
+
y2
m-1
=1
,消去y并整理得:(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0,(6分)
△=8m(m-1)2,∵m∈[2,5],∴△>0恒成立,
此时xB+xC=-
2m
2m-1
,又直线的斜率k=1,
∴||AB|-|CD||=|
2
|xB-xA|-
2
|xD-xC||=
2
|(xB+xC)-(xA+xD)|,(8分)
又xA=-m,xD=m,∴xA+xD=0
故f(m)=
2
|xB+xC|=
2
2
m
2m-1
,m∈[2,5].(10分)
(3)解:f(m)=
2
3
2-
1
m
,又m∈[2,5],由题意知2-
1
2
≤2-
1
m
≤2-
1
5

∴f(m)∈[
10
2
9
4
2
3
],
故m=2时,f(m)max=
4
2
3
;m=5时,f(m)min=
10
2
9
.(14分)
点评:本题考查直线方程的求法,考查函数的解析式的求法,考查函数的最大、最小值的求法,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.
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