Question

如图1，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，面ABCD为正方形，E为侧棱PD上一点，F为AB上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．
（Ⅰ）求四面体PBFC的体积；
（Ⅱ）证明：AE∥平面PFC；
（Ⅲ）证明：平面PFC⊥平面PCD．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用左视图可得 F为AB的中点，即可得到三角形BFC的面积，由PA⊥平面ABCD，可知PA是四面体PBFC的底面BFC上的高，利用三棱锥的体积计算公式即可得到；
（II）利用三角形的中位线定理即可得到EQ∥CD，．再利用底面正方形的性质可得AF∥CD，，利用平行四边形的判定和性质定理即可得到AE∥FQ，利用线面平行的判定定理即可证明结论；
（III）利用线面垂直的性质定理和判定定理即可得到CD⊥平面PAD，从而得到CD⊥AE，由等腰三角形的性质可得AE⊥PD，利用线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面PCD，而FQ∥AE，可得FQ⊥平面PCD，利用面面垂直的判定定理即可证明结论．
解答：（Ⅰ）解：由左视图可得 F为AB的中点，
∴△BFC的面积为 ．
∵PA⊥平面ABCD，
∴四面体PBFC的体积为=．
（Ⅱ）证明：取PC中点Q，连接EQ，FQ．
由正（主）视图可得 E为PD的中点，
∴EQ∥CD，．
又∵AF∥CD，，∴AF∥EQ，AF=EQ．
∴四边形AFQE为平行四边形，∴AE∥FQ．
∵AE?平面PFC，FQ?平面PFC，
∴直线AE∥平面PFC．
（Ⅲ）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵平面ABCD为正方形，∴AD⊥CD．
∴CD⊥平面PAD．
∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE．
∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD．
∴AE⊥平面PCD．
∵AE∥FQ，∴FQ⊥平面PCD．
∵FQ?平面PFC，∴平面PFC⊥平面PCD．
点评：正确理解三视图，熟练掌握三角形BFC的面积、三棱锥的体积计算公式、三角形的中位线定理、正方形的性质、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理和判定定理、等腰三角形的性质、面面垂直的判定定理是解题的关键．