Question

已知对任意正整数n，函数恒存在极小值a_n（a＞0），
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求a_n并判断数列{a_n}的单调性；
（Ⅲ）是否存在m∈N^*，使a_m＞0，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因为函数的极小值处导数等于0，且极小值点处导数左负右正，若恒存在极小值a_n（a＞0），则导数等于0必有正解．因为，所以方程x²-2nx+a=0必有两正根，则△＞0恒成立，解得a的范围即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数的极小值是方程x²-2nx+a=0的根，解方程，根据一元二次方程根的分布，可判断当n=时函数有极小值，求出极小值．再利用导数判断数列{a_n}的单调性．
（Ⅲ）先假设存在m∈N^*，使a_m＞0，由（Ⅱ）已判断数列{a_n}是单调减数列，所以当n=1时a_n最大，只需求a_n，看是否大于0，即可．
解答：解：（Ⅰ）
由条件得：方程x²-2nx+a=0必有两根，
∵两根之和为2n＞0，两根之积为a＞0
∴两根必为正根
则△=4n²-4a＞0，
得a＜n²，对一切正整数n都成立
所以，a的取值范围是0＜a＜1．
（Ⅱ）为函数的极小值
设，（x≥1），则
因为x≥1，所以，得g'（x）＜0，
所以g（x）在[1，+∞）上单调递减，故{a_n}是递减数列．
（Ⅲ）假设存在m∈N^*，使a_m＞0，
由（Ⅱ）知{a_n}是递减数列，先考虑第一项
令，则t∈（0，1），a₁=φ（t）=2t-2ln（1+t），则，φ（t）单调递增，φ（t）＞φ（0）=0，所以a₁＞0；
再考虑第二项
令，则，a₂=h（u）=2u-4ln（2+u），则h（u）单调递增，h（u）＜h（2）=4-4ln4＜0，所以a₂＜0，
故存在m=1符合题意．
点评：本题主要考查利用导数求函数极小值，以及利用导数判断数列的单调性，及数列单调性的应用．