Question

12．已知函数f（x）=ax³+bx²，在x=1时有极大值3；
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-1，2]上的最值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，得到方程组，解出a，b的值即可；（2）先求出函数f（x）的单调区间，从而求出极值，结合函数的端点值，进而求出函数的最值．

解答 解：f′（x）=3ax²+2bx，
（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a+b=3}\\{f′（1）=3a+2b=0}\end{array}\right.$，
解得：a=-6，b=9      …（6分）
（2）由（1）得：f（x）=-6x³+9x²，
∴f′（x）=-18x²+18x，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜0，
∴函数f（x）在[-1，0），（1，2]递减，在（0，1）递增，
∴f（x）_极小值=f（0）=0，f（x）_极大值=f（1）=3，
而f（-1）=15，f（2）=-12，
∴函数f（x）的最大值f（-1）=15，最小值f（2）=-12．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．