Question

【题目】已知抛物线C：y=2x2 ， 直线l：y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线C于点N．
（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（2）是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），

把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0，

得x1+x2= ．

∵xN=xM= = ，∴N点的坐标为（ ， ）．

∵y′=4x，∴y′| =k，

即抛物线在点N处的切线的斜率为k．

∵直线l：y=kx+2的斜率为k，

∴l∥AB

（2）解：假设存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N．

由于M是AB的中点，∴|MN|= |AB|．

由（1）知yM= （y1+y2）= （kx1+2+kx2+2）

= [k（x1+x2）+4]= （4+ ）=2+ ，

由MN⊥x轴，则|MN|=|yM﹣yN|=2+ ﹣ = ，

∵|AB|=

= =

由 =

∴k=±2，

则存在实数k=±2，使AB为直径的圆M经过点N

【解析】（1）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M，N的坐标，再由y=2x2的导数，可得在点N处的切线斜率，由两直线平行的条件即可得证；（2）假设存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N．由于M是AB的中点，则|MN|= |AB|，运用弦长公式计算化简整理，即可求得k=±2，故存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N．