Question

已知圆x²+y²-6x-4y+10=0，直线L₁：y=kx，L₂：3x+2y+4=0，x在什么范围内取值时，圆与L₁交于两点？又设L₁与L₂交于P，L₁与圆的相交弦中点为Q，当k于上述范围内变化时，求证：|OP|•|OQ|为定值．

Answer 1

分析：直线与圆相交求圆心和直线的距离小于半径即可；证明|OP|•|OQ|为定值，先求P，Q的坐标然后化简即可．

解答：解：x²+y²-6x-4y+10=0 即   （x-3）²+（y-2）²=3圆与L₁交于两点
可知

|3k-2|

1+k2

＜

3

解之得

6- 30

6

＜k＜

6+ 30

6

又L₁与L₂交于P，

y=kx 3x+2y+4=0

又可求P(

-4

3+2k

，

-4k

3+2k

)，
L₁与圆的相交弦中点为Q，圆心（3，2）与直线y=kx垂直的直线：y-2=-

1

k

(x-3)
它与y=kx的交点Q(

3k+3

k2+1

，

k(2k+3)

k2+1

)
∴|OP|•|OQ|=

4 1+k2

3+2k

• 

3+2k

1+k2

=4（定值）．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，学生化简、数学运算能力．