Question

设 f（x）=

1+x

1-x

，又记f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，则f₂₀₀₉（x）=（　　）

• A、

  1+x

  1-x

• B、

  x-1

  x+1

• C、x
• D、-

  1

  x

Answer 1

分析：根据f_k+1（x）=f（f_k（x）），分别求出f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x）发现函数列{f_K（x）}是以4为周期的函数列，进而可知f₂₀₀₉（x）=f₁（x），求得答案．

解答：解：依题意得f₁（x）=

1+x

1-x

，f₂（x）=-

1

x

，f₃（x）=

x-1

1+x

，f₄（x）=x，f₅（x）=

1+x

1-x

=f₁（x）
即函数列{f_K（x）}是以4为周期的函数列，注意到2009=4×502+1，因此f₂₀₀₉（x）=f₁（x）=

1+x

1-x

故选A．

点评：本题主要考查函数的周期性．解本题关键是找出函数列的周期．