Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-1（n∈N₊）
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=，数列{b_n}的前n项和T_n，求证：≤T_n＜1．

Answer 1

（1）解：当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1），∴a_n=2a_n-1
∴数列{a_n}是首项为a₁=1，公比为2的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式是a_n=2^n-1；
（2）证明：b_n==2（-）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=2[（-）+（-）+…+（-）]=2（）＜1
∵T_n+1-T_n=b_n+1=＞0
∴数列{T_n}是递增数列
∵T₁=
∴≤T_n＜1
分析：（1）根据数列递推式，再写一式，两式相减，即可求得数列的通项；
（2）确定数列的通项，利用叠加法求和，证明是递增数列，即可证得结论．
点评：本题考查数列的通项，考查数列的求和，考查不等式的证明，解题的关键是确定数列的通项，属于中档题．