Question

已知一四棱锥P-ABCD的三视图，E是侧棱PC上的动点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？证明你的结论；
（3）若E点为PC的中点，点O为BD中点，证明EO∥平面PAB．

Answer 1

分析：（1）由已知中的三视图，我们可以得到四棱锥的底面是一个以1为边长的正方形，高PC长度为2，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
（2）连接AC，交BD于O，我们易根据正方形的性质及线面垂直的性质，分别得到BD⊥AC，BD⊥PC，进而根据线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，再由线面垂直的性质即可得到不论点E在何位置，都有BD⊥AE．
（3）连接EO，由三角形中位线定理，可得EO∥PA，进而根据线面平行的判定定理，得到EO∥平面PAB．

解答：解：（1）由已知中的三视图，得：
棱锥的底面面积S_ABCD=1×1=1
棱锥的高PC为2
故棱锥的体积V=

1

3

×SABCD×2=

2

3

（2）证明：连接AC，交BD于O，
则AC⊥BD，
又∵PC⊥平面ABCD
∴PC⊥BD，
又∵AC∩PC=C
∴BD⊥平面PAC
又∵AE?平面PAC
∴BD⊥AE
即不论点E在何位置，都有BD⊥AE．
（3）证明：连接EO，由E，O分别为PC，AC的中点
∴OE∥PA，
又∵OE?平面PAB，PA?平面PAB
∴OE∥平面PAB

点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，直线与平面垂直的判定及性质，直线与平面平行的判定，其中根据三视图分析出几何体的形状及几何特征是解答本题的关键．