【题目】已知直三棱柱中,,.
⑴求异面直线与所成角;
⑵求点到平面的距离.
【答案】⑴ ⑵
【解析】
法一:⑴ 求出,从而,进而为异面直线与所成的角或补角,由此能求出异面直线与所成角.
⑵ 设点到平面的距离为h,由,能求出点到平面的距离.
法二:
⑴ 设异面直线与所成角为,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线与所成角.
⑵ 求出平面的法向量,利用向量法能求出点到平面的距离.
解法一:
⑴在直三棱柱中,,,,
所以,
因为,,
所以为异面直线与所成的角或补角
在中,因为,,
所以,异面直线与所成角为
⑵设点到平面的距离为h,
由⑴得,
,
因为,,
所以,,解得,.
所以,点到平面的距离为
解法二:
⑴设异面直线与所成角为,如图建系,
则,,
因为,
所以,异面直线与所成角为
⑵设平面的法向量为,则.
又,,
所以,由,得
所以,点到平面的距离
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【题目】“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家,他的应用巨著《算法统综》中有一首“竹筒容米”问题:“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节四升五,上梢四节三升八,唯有中间两节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明.”((注)四升五:4.5升,次第盛:盛米容积依次相差同一数量.)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为
A. 2.2升B. 2.3升
C. 2.4升D. 2.5升
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【题目】如图,已知在四棱锥中,底面是边长为4的正方形,是正三角形,平面平面,分别是的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)若是线段上一点,求三棱锥的体积.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线和曲线的极坐标方程;
(2)已知射线(),将射线顺时针方向旋转得到:,且射线与曲线交于两点,射线与曲线交于两点,求的最大值.
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【题目】某脐橙种植基地记录了10棵脐橙树在未使用新技术的年产量(单位:)和使用了新技术后的年产量的数据变化,得到表格如下:
未使用新技术的10棵脐橙树的年产量
第一棵 | 第二棵 | 第三棵 | 第四棵 | 第五棵 | 第六棵 | 第七棵 | 第八棵 | 第九棵 | 第十棵 | |
年产量 | 30 | 32 | 30 | 40 | 40 | 35 | 36 | 45 | 42 | 30 |
使用了新技术后的10棵脐橙树的年产量
第一棵 | 第二棵 | 第三棵 | 第四棵 | 第五棵 | 第六棵 | 第七棵 | 第八棵 | 第九棵 | 第十棵 | |
年产量 | 40 | 40 | 35 | 50 | 55 | 45 | 42 | 50 | 51 | 42 |
已知该基地共有20亩地,每亩地有50棵脐橙树.
(1)估计该基地使用了新技术后,平均1棵脐橙树的产量;
(2)估计该基地使用了新技术后,脐橙年总产量比未使用新技术将增产多少?
(3)由于受市场影响,导致使用新技术后脐橙的售价由原来(未使用新技术时)的每千克10元降为每千克9元,试估计该基地使用新技术后脐橙年总收入比原来增加的百分数.
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