Question

15．已知角α和β满足$0＜α＜2β≤\frac{π}{2}$，且2cos（α+β）cosβ=-1+2sin（α+β）sinβ，则角α和角β满足的关系式是α+2β=$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 先根据两角和的余弦公式得到cos（α+2β）=-$\frac{1}{2}$，再根据角的范围，即可求出答案．

解答 解：∵2cos（α+β）cosβ=-1+2sin（α+β）sinβ，
∴cos（α+β）cosβ-sin（α+β）sinβ=-$\frac{1}{2}$，
∴cos（α+2β）=-$\frac{1}{2}$，
∵角α和β满足$0＜α＜2β≤\frac{π}{2}$，
∴0＜α+2β＜π，
∴α+2β=$\frac{2π}{3}$，
故答案为：α+2β=$\frac{2π}{3}$

点评 本题考查了两角和的余弦公式和特殊角的三角函数值，属于基础题．