Question

15．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且B=$\frac{π}{3}$，给出下列命题．
①角A，B，C成等差数列；
②若a=2c，则△ABC为钝角三角形；
③若a，b，c成等比数列，则△ABC为等边三角形；
④若tanA+tan C+$\sqrt{3}$＞0，则△ABC为锐角三角形；
⑤$\overrightarrow{AB}$²=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$，则3A=C．
其中正确命题的序号是①③④⑤．

Answer 1

分析 ①，结合内角和定理和等差数列的性质，容易求得结果；
②，利用正弦定理求出，A，C的大小进行判断；
③，根据等比数列的性质以及余弦定理建立方程关系进行判断；
④，利用两角和差的正切公式进行化简判断，
⑤，利用数量积的定义将条件变为三角形的边角关系，然后进行推理化简．

解答 解：①∵B=$\frac{π}{3}$，∴A+C=π-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$=2B，则角A，B，C成等差数列；故①正确，
②若a=2c，则由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{2c}{sin（\frac{2π}{3}-C）}$，
即2sinC=sin（$\frac{2π}{3}$-C）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{1}{2}$sinC，即$\frac{3}{2}$sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC，
则tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则C=$\frac{π}{6}$，则B=π$-\frac{π}{6}-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，则△ABC为直角三角形；故②错误，
③若a，b，c成等比数列，则b²=ac，由cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，将该式子中的b²用ac替换，
得$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，即a²+c²-ac=ac，即（a-c）²=0，则a=c，则该三角形为等边三角形，故③正确；
④若tanA+tan C+$\sqrt{3}$＞0，由tanB=-tan（A+C）=-$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}=\sqrt{3}$，整理得tan A+tan C+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}tanAtanC$＞0，
则必有tanA＞0，tanC＞0，故A，C都是锐角，故该三角形为锐角三角形，故④正确，
⑤由$\overrightarrow{AB}$²=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$得c²=bccosA+accosB+abcosC，结合余弦定理可得c²=b²+a²，故C=90°，得A=30°，所以3A=C．故⑤正确；
故答案为：①③④⑤

点评 本题考查了与三角函数有关的命题的真假判断，涉及三角形中的三角函数问题以及正余弦定理的应用，属于中档题，要注意转化思想在解题中的作用．