分析 ①,结合内角和定理和等差数列的性质,容易求得结果;
②,利用正弦定理求出,A,C的大小进行判断;
③,根据等比数列的性质以及余弦定理建立方程关系进行判断;
④,利用两角和差的正切公式进行化简判断,
⑤,利用数量积的定义将条件变为三角形的边角关系,然后进行推理化简.
解答 解:①∵B=$\frac{π}{3}$,∴A+C=π-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$=2B,则角A,B,C成等差数列;故①正确,
②若a=2c,则由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{2c}{sin(\frac{2π}{3}-C)}$,
即2sinC=sin($\frac{2π}{3}$-C)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{1}{2}$sinC,即$\frac{3}{2}$sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC,
则tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,则C=$\frac{π}{6}$,则B=π$-\frac{π}{6}-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$,则△ABC为直角三角形;故②错误,
③若a,b,c成等比数列,则b2=ac,由cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$,将该式子中的b2用ac替换,
得$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}=\frac{1}{2}$,即a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0,则a=c,则该三角形为等边三角形,故③正确;
④若tanA+tan C+$\sqrt{3}$>0,由tanB=-tan(A+C)=-$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}=\sqrt{3}$,整理得tan A+tan C+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}tanAtanC$>0,
则必有tanA>0,tanC>0,故A,C都是锐角,故该三角形为锐角三角形,故④正确,
⑤由$\overrightarrow{AB}$2=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$得c2=bccosA+accosB+abcosC,结合余弦定理可得c2=b2+a2,故C=90°,得A=30°,所以3A=C.故⑤正确;
故答案为:①③④⑤
点评 本题考查了与三角函数有关的命题的真假判断,涉及三角形中的三角函数问题以及正余弦定理的应用,属于中档题,要注意转化思想在解题中的作用.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | [1,4] | B. | [1,2] | C. | [$\frac{1}{2}$,2] | D. | [0,+∞) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 3 | B. | 23 | C. | 46 | D. | 208 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 8 | B. | 8$\sqrt{2}$ | C. | 4+4$\sqrt{2}$ | D. | 8+8$\sqrt{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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