Question

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数.当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当时，求函数的表达式；
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观察点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.

试题分析：(1)分析可知当时，车流速度为常数所以此时。当时为一次函数，则可设其方程为。再根据已知和列出方程组求.（2）现根据的解析式求出的解析式，所以也是分段函数，需分情况讨论当时，此时在上是增函数，所以时最大，当时利用基本不等式（或配方法）求最值。最后比较这两个最大值的大小取其中最大的一个
试题解析：（1）由题意：当；当
再由已知得
故函数的表达式为
（2）依题意并由（1）可得
当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；
当时，
当且仅当，即时，等号成立。
所以，当在区间[20，200]上取得最大值.
综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.