Question

已知（

1

9

）^x+（

1

3

）^x-1+a=0有正解，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：为令t=（

1

3

）^x ，由x＞0，可得 0＜t＜1，于是可转化为求关于t的方程t²+t+a-1=0在（0，1）上有解的问题，即求函数a=-t²-t+1在（0，1）上的值域，于是问题迎刃而解．

解答： 解：令t=（

1

3

）^x ，由x＞0，可得 0＜t＜1，
由题意可得关于t的方程 t²+t+a-1=0 在（0，1）上有解．
即 a=-t²-t+1=-(t+

1

2

)2+

5

4

．
再根据函数a=-t²-t+1在（0，1）上是减函数，故-1＜a＜1，
故答案为：（-1，1）．

点评：本题主要考查函数最值的求法，二次方程根的分布问题，以及对含参数的函数、方程的问题的考查，亦对转化思想，换元法在解题中的应用进行了考查，属于基础题．