Question

已知直线（m+2）x-（2m-1）y-3（m-4）=0．
（1）求证：不论m怎样变化，直线恒过定点；
（2）求原点（0，0）到直线的距离的最大值．

Answer 1

分析：（1）把已知直线的方程去掉括号重新结合，得到m（x-2y-3）+2x+y+12=0，然后联立x-2y-3=0与2x+y+12=0得到一个关于x与y的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到两直线的交点，即为已知直线恒过的定点；
（2）写出原点的坐标，由题意可知原点到已知直线的距离的最大值即为原点到直线恒过的顶点间的距离，所以利用两点间的距离公式求出原点到定点间的距离即为距离的最大值．

解答：解：（1）证明：直线方程变为m（x-2y-3）+2x+y+12=0，
故由

x-2y-3=0 2x+y+12=0

，得

x=- 21 5 y=- 18 5

，
∴不论m怎样变化，直线恒过定点（-

21

5

，-

18

5

）．
（2）原点（0，0）到直线距离的最大值，即为原点（0，0）到点（-

21

5

，-

18

5

）的距离d．
∴d=

( 21 5 )2+( 18 5 )2

=

3 85

5

．

点评：此题考查学生会根据两直线的方程求出两直线的交点坐标，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．