Question

14．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x²+y²-4x+1=0有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是（1，2]．

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程，以及圆的圆心和半径，运用直线和圆有公共点的条件：d≤r，再由离心率公式，即可得到所求范围．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
圆x²+y²-4x+1=0的圆心为（2，0），半径为$\sqrt{3}$，
渐近线与圆x²+y²-4x+1=0有公共点，即有$\frac{|2b|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$≤$\sqrt{3}$，
即为4b²≤3c²，
即4c²-4a²≤3c²，即为c²≤4a²，
即有e=$\frac{c}{a}$≤2，又e＞1，
则1＜e≤2．
故答案为：（1，2]．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程和离心率的范围，考查直线和圆有公共点的条件，属于中档题．