Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动
（1）证明：A₁D⊥平面D₁EC₁；
（2）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间向量及应用

分析：以D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．
（1）利用数量积只要判断A₁D⊥D₁E，A₁D⊥D₁C₁，
（2）设平面D₁EC的法向量

n

=（a，b，c），利用法向量的特点求出x．

解答： 证明（1）：以D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．

A1D

=（-1，0，-1），

D1E

=（1，x，-1），

D1C1

=

DC

=（0，2，0），
所以

A1D

•

D1E

=0，

A1D

•

D1C1

=0，
所以A₁D⊥D₁E，A₁D⊥D₁C₁，
所以A₁D⊥平面D₁EC₁；
解：（2）设平面D₁EC的法向量

n

=（a，b，c），
∴

CE

=（1，x-2，0），

D1C

=（0，2，-1），

DD1

=（0，0，1）．
由

n • CE =0 n • D1C =0

．所以

a+b(x-2)=0 2b-c=0

令b=1，
∴c=2，a=2-x．∴

n

=（2-x，1，2）．
依题意，cos

π

4

=

| n • DD1 |

| n || DD1 |

=

2

2

⇒

2

(2-x)2+5

=

2

2

．
解得x₁=2+

3

（舍去），x₁=2-

3

所以AE=2-

3

时，二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

．

点评：本题考查了利用空间直角坐标系，判断线面垂直以及求解二面角，注意法向量的求法是解题的关键，考查计算能力．