【题目】如图,在长方体中,底面
是边长为
的正方形,对角线
与
相交于点
,点
在线段
上,且
,
与底面
所成角为
.
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)推导出平面
,进而可得出
;
(2)根据直线与底面
所成的角为
可计算出
,然后以点
为坐标原点,
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系
,利用空间向量法能计算出二面角
的余弦值.
(1)因为在长方体中,有
平面
,
平面
,
,
因为四边形是正方形,所以
,
又,从而
平面
.
而平面
,所以
;
(2)因为在长方体中,有
、
、
两两垂直,
以点为坐标原点,
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立如下图所示的空间直角坐标系
,
由(1)知为直线
与平面
所成的角,
又因为与平面
所成角为
,所以
,所以
.
由,得
,可知
,所以
,
又,即
,故
,
则,
,
,
,
,
所以,
,
设平面的法向量为
,则
,
即,令
,可得
,
因为平面
,所以
为平面
的法向量,即
,
所以.
由图形可知,二面角为锐角,所以二面角
的余弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】四棱锥中,
平面ABCD,
,
,BC//AD,已知Q是四边形ABCD内部一点,且二面角
的平面角大小为
,若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为
的两部分,则
=_______.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】椭圆的左、右焦点分别为
,
,椭圆上一点
与
,
的距离之和为
,且焦距是短轴长的2倍.
(1)求椭圆的方程;
(2)过线段上一点的直线
(斜率不为0)与椭圆相交于
,
两点,当
的面积与
的面积之比为
时,求
面积的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】椭圆的左、右焦点分别为
、
,离心率为
,过焦点
且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
Ⅰ
求椭圆C的方程;
Ⅱ
点
为椭圆C上一动点,连接
,
,设
的角平分线PM交椭圆C的长轴于点
,求实数m的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设椭圆的右顶点为
,上顶点为
.已知椭圆的离心率为
,
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设直线:
与椭圆交于
,
两点,且点
在第二象限.
与
延长线交于点
,若
的面积是
面积的3倍,求
的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】记为数列
的前
项和.“任意正整数
,均有
”是“
为递增数列”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利,极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔(单位:分钟)满足
,
,经测算,高铁的载客量与发车时间间隔
相关:当
时高铁为满载状态,载客量为1000人;当
时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与
成正比,且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车间隔为
分钟时,高铁载客量为
.
(1)求的表达式;
(2)若该线路发车时间间隔为分钟时的净收益
(元),当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益
最大?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设四点均在双曲线
的右支上.
(1)若(实数
),证明:
(O是坐标原点);
(2)若,P是线段AB的中点,过点P分别作该双曲线的两条渐近线的垂线,垂足为M、N,求四边形
的面积的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校高二期中考试后,教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析,从男、女生中各随机抽取100名学生,分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图,如图所示.
(1)若所得分数大于等于80分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人?
(2)在(1)中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意任取2人,求至少有1名男生的概率.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com