Question

设直线l与球O有且仅有一个公共点P．从直线l出发的两个半平面截球O的两个截面圆O₁和圆O₂的半径分别为3和2，若这两个半平面α，β所成的二面角为120°．则球O的半径R=    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知中直线l与球O有且仅有一个公共点P．从直线l出发的两个半平面截球O的两个截面圆O₁和圆O₂的半径分别为3和2，若这两个半平面α，β所成的二面角为120°．过P，O₁和O₂作球的截面，则OO₁⊥O₁P，OO₂⊥O₂P，O₁PO₂=120°，O₁P=3，O₂P=2，OP=R，根据两角和的余弦公式，可以构造一个关于R有方程，解方程即可求出R的值．
解答：解：∵直线l与球O有且仅有一个公共点P，
则直线l与球O相切于点P，
过P，O₁和O₂作球的截面，如下图所示

则O₁P=3，O₂P=2，OP=R
cos∠O₁PO=，sin∠O₁PO=
cos∠O₂PO=，sin∠O₂PO=
∵∠O₁PO₂=120°
∴cos∠O₁PO₂=cos∠O₁PO•cos∠O₂PO-sin∠O₁PO•sin∠O₂PO==-
解得R=
故答案为：
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角，球的性质，两角和的三角函数，其中P，O₁和O₂作球的截面，将空间问题转化为平面问题，是解答本题的关键．