【题目】平面上有12个点,且任意三点不共线,以其中任意一点为始点,另一点为终点作向量,且作出所有的向量.其中3边向量的和为零向量的三角形称为“零三角形”.求以这些点为顶点的“零三角形”个数的最大值.
【答案】70
【解析】
设这12个点分别为,这12个点确定的三角形共有
个.设以
为始点的向量数为.若以某3点为顶点的三角形为“非零三角形”,则有且仅有1点是此三角形两边向量的始点,所以,以
,为顶点之一且为两边始点的非零三角形”有
个(规定
).从而,以这些点为顶点的三角形中,“非零三角形的总数为
.
因此,“零三角形”的个数为
先求的最小值
因为所以
因非负整数不超过11,故
有最小值
若存在,使得
可记
.
显然,则
.
又,则对于所有的下
,只有当
或1时,
才取最小值即当
时,
取最小值
.
所以, 的最小值为
.
因此“零三角形”个数的最大值为.
注:此题中,因为,所以,不能用均值不等式求
的最小值.故此最小值不为
.
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【题目】一个袋中有4个大小相同的小球,其中红球1个,白球2个,黑球1个,现从袋中有放回地取球,每次随机取一个,求
(1)连续取两次都是白球的概率;
(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,取一个黑球记0分,连续取三次分数之和为4分的概率.(本小题基本事件总数较多不要求列举,但是所求事件含的基本事件要列举)
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【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,
,若椭圆经过点
,且
的面积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设斜率为的直线
与以原点为圆心,半径为
的圆交于
,
两点,与椭圆
交于
,
两点,且
,当
取得最小值时,求直线
的方程.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆
的极坐标方程为
.
(1)若直线l与圆相切,求
的值;
(2)若直线l与曲线(为参数)交于A,B两点,点
,求
.
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【题目】已知下列说法:①对于线性回归方程,变量
增加一个单位时,
平均增加5个单位;②在线性回归模型中,相关指数
越接近于1,则模型回归效果越好;③两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数就越接近1;④互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件;⑤演绎推理是从特殊到一般的推理,它的一般模式是“三段论”.其中说法错误的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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