Question

用数学归纳法证明凸n边形的对角线条数：f（n）=n（n-3），（n≥3，n∈N）

Answer 1

解：当n=3时，f（x）=×3×=0，凸三边形没有对角线，
命题成立
（2）假设当n=k（k≥3）时命题成立，即凸k边形的对角线条数f（k）=k（k-3）（k≥3），
当k=k+1时，k+1边形是在k边形的基础上增加了一边，
增加了一个顶点A _k+1，增加的对角线是顶点A _k+1，与不相邻顶点连线再加上原k变形的一边A₁A_k+1，
增加的对角线条数为（k-3）+1=k-2，
∴f（k+1）=×k（k-3）+k-1=（k²-k-2）=（k+1）（k-2）=×（k+1）[（k+1）-3]
综上当n=k+1时，命题成立，
由（1）（2）可知，对任何n∈N₊，n≥3命题成立．
分析：此题要求利用归纳法进行证明，第一步验证n=3是否成立，第二步假设n=k时，等式成立，第三部再（2）假设的基础上，验证n=k+1时是否成立，从而求证．
点评：此题考查了利用数学归纳法进行证明等式，证明时要注意归纳法的三个基本步骤，解题时要充分利用好假设，归纳法是高考常考的方法．