Question

（2012•淮南二模）如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE=BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥面ACE．
（1）求证：AE⊥BC；
（2）若点N为线段AB的中点，求证：MN∥面ADE；
（3）若 BE=4，CE=4

2

，且二面角A-BC-E的大小为45°，求三棱锥C-ABE的体积．

Answer 1

分析：（1）证明BM⊥AE，AE⊥BE，可得AE⊥面BCE，从而可得AE⊥BC；
（2）取DE中点P，连接PM，AP，证明AMNP为平行四边形，从而可证MN∥面ADE；
（3）证明∠ABE为二面角A-BC-E的平面角，可得AE=BE=4，从而可求三棱锥C-ABE的体积．

解答：（1）证明：∵BM⊥面ACE，AE?面ACE，∴BM⊥AE
∵AE⊥BE，BM∩BE=B
∴AE⊥面BCE
∵BC?面BCE
∴AE⊥BC；
（2）解：取DE中点P，连接PM，AP
∵BC=BE，BM⊥AE
∴M为CE的中点
∴MP∥

1

2

DC∥AN
∴AMNP为平行四边形
∴MN∥AP
∵MN?面ADE，AP?面ADE
∴MN∥面ADE
（3）解：由BE=BC=4，CE=4

2

得BC⊥BE
∵BC⊥AE，AE∩BE=E
∴BC⊥面ABE
∴∠ABE为二面角A-BC-E的平面角
∴∠ABE=45°
∴AE=BE=4
∴三棱锥C-ABE的体积

1

3

×

1

2

×4²×4=

32

3

．

点评：本题考查线面位置关系，考查线面平行，线面垂直，考查线线垂直，考查三棱锥的体积，掌握线面平行，线面垂直的判定方法是关键．