Question

17．如图，在三棱锥A-BCD中，O、E分别为BD、BC中点，CA=CB=CD=BD=4，AB=AD=2$\sqrt{2}$
（1）求证：AO⊥面BCD
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值
（3）求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

分析 （1）要证AO⊥平面BCD，只需证AO⊥BD，AO⊥CO即可，结合已知条件，根据勾股定理即可得到答案；
（2）取AC中点F，连接OF、OE、EF，由中位线定理可得EF∥AB，OE∥CD，则∠OEF（或其补角）是异面直线AB与CD所成角，然后在Rt△AOC中求解；
（3）以O为原点，以OB，OC，OA方向为x，y，z轴正方向，建立空间坐标系，求出平面ACD的法向量的坐标，根据点E到平面ACD的距离h=$\frac{|\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$，可求出点E到平面ACD的距离．

解答 （1）证明：△ABD中，∵AB=AD=$\sqrt{2}$，O是BD中点，BD=2，
∴AO⊥BD且AO=$\sqrt{A{B}^{2}-B{O}^{2}}$=1．
在△BCD中，连接OC，
∵BC=DC=2，
∴CO⊥BD且CO=$\sqrt{B{C}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
在△AOC中，AO=1，CO=$\sqrt{3}$，AC=2，
∴AO²+CO²=AC²，故AO⊥CO．
∴AO⊥平面BCD；
（2）解：取AC中点F，连接OF、OE、EF，
△ABC中，E、F分别为BC、AC中点，
∴EF∥AB，且EF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在△BCD中，O、E分别为BD、BC的中点，
∴OE∥CD且OE=$\frac{1}{2}$CD=1．
∴异面直线AB与CD所成角等于∠OEF（或其补角）．
又OF是Rt△AOC斜边上的中线，
∴OF=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴等腰△OEF中cos∠OEF=$\frac{\frac{1}{2}EF}{OE}=\frac{\sqrt{2}}{4}$；
（3）解：如图建立空间直角坐标系，设平面ACD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+z=0}\\{\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$．
令y=1，得$\overrightarrow{n}=（-\sqrt{3}，1，\sqrt{3}）$．
又$\overrightarrow{EC}=（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$，
∴点E到平面ACD的距离h=$\frac{|\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定、异面直线所成角的求法及空间点到平面的距离，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求点到平面的距离，是中档题．