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设函数f(α)=sinα+
3
cosα,其中,角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤α≤π.
(1)若P点的坐标为(
3
,1),求f(α)的值;
(2)若点P(x,y)为平面区域
x+y≥1
y≥x
y≤1
上的一个动点,试确定角α的取值范围,并求函数f(α)的最小值和最大值.
分析:(1)由三角函数的定义,算出sinα=
1
2
,cosα=
3
2
,代入即可得到求f(α)的值;
(2)作出题中不等式组表示的平面区域,得到如图所示的△ABC及其内部区域,运动点P并加以观察,可得α∈[
π
4
π
2
].利用辅助角公式化简得f(α)=2sin(α+
π
3
),由α+
π
3
∈[
12
6
]结合正弦函数的图象与性质加以计算,可得函数f(α)的最小值和最大值.
解答:解:(1)∵P点的坐标为(
3
,1),可得r=|OP|=
3+1
=2,
∴由三角函数的定义,得sinα=
1
2
,cosα=
3
2

故f(α)=sinα+
3
cosα=
1
2
+
3
×
3
2
=2.
(2)作出不等式组
x+y≥1
y≥x
y≤1
表示的平面区域,
得到如图所示的△ABC及其内部区域,
其中A(0,1)、B(0.5,0.5),C(1,1),
∵P为区域内一个动点,且P为角α终边上的一点,
∴运动点P,可得当P与A点重合时,α=
π
2
达到最大值;
当P与线段BC上一点重合时,α=
π
4
达到最小值.由此可得α∈[
π
4
π
2
].
∵f(α)=sinα+
3
cosα=2sin(α+
π
3
),
∴由α∈[
π
4
π
2
],可得α+
π
3
∈[
12
6
],
当α+
π
3
=
6
即α=
π
2
时,f(α)有最小值2sin
6
=1;
当α+
π
3
=
12
即α=
π
4
时,f(α)有最大值2sin
12
=
6
+
2
2

综上所述函数f(α)的最小值为1,最大值为
6
+
2
2
点评:本题给出角α终边上的一点P,在P满足特殊条件下求f(α)=sinα+
3
cosα的最值.着重考查了任意角三角函数的定义、二元一次不等式组表示的平面区域和三角函数的图象与性质等知识,属于中档题.
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1
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2
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1
4
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1
4
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3
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π
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