Question

设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都有f（f（x））=x，则称函数f（x）是集合M的元素．
（Ⅰ）判断函数f（x）=-x+1和g（x）=2x-1是否是集合M的元素，并说明理由；
（Ⅱ）若f(x)=

ax

x+b

∈M(a，b为常数且a＞0)，求a+b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用f（f（x））=x，判断函数f（x）=-x+1和g（x）=2x-1是否是集合M的元素即可．
（Ⅱ）利用新定义，通过f（f（x））=x，判断f(x)=

ax

x+b

∈M(a，b为常数且a＞0)，即可求a+b的值

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为f（f（x））=-（-x+1）+1=x，所以f（x）∈M…（3分）
同理g（g（x））=2（2x-1）-1=4x-3，所以g（x）∉M…（6分）
（Ⅱ）因为f(x)=

ax

x+b

∈M，所以f（f（x））=x对定义域内一切x恒成立，
即

a• ax x+b

ax x+b +b

=x?a2x=ax2+bx2+bx?(a2-b2)x=(a+b)x2恒成立
所以a+b=0…（12分）

点评：本题考查集合的包含关系，函数的基本运算，基本知识的应用．