【题目】已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn , {bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4﹣b4=10.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)记Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn , n∈N* , 证明:Tn+12=﹣2an+10bn(n∈N*).
【答案】(1)an=3n﹣1,bn=2n ,n∈N*(2)详见解析
【解析】
(1)利用等差等比数列的基本量列方程直接求解,即可求出通项.
(2)先写出Tn的表达式,再借助于错位相减求和;
(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,
由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,s4=8+6d,
由条件a4+b4=27,s4﹣b4=10,
得方程组,解得,
故an=3n﹣1,bn=2n,n∈N*.
(2)由(1)得,Tn=2an+22an﹣1+23an﹣2+…+2na1; ①;
2Tn=22an+23an﹣1+…+2na2+2n+1a1; ②;
由②﹣①得,Tn=﹣2(3n﹣1)+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2
2n+2﹣6n+2
=10×2n﹣6n﹣10;
而﹣2an+10bn﹣12=﹣2(3n﹣1)+10×2n﹣12=10×2n﹣6n﹣10;
故Tn+12=﹣2an+10bn(n∈N*).
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【题目】设为常数,函数.给出以下结论:
①若,则在区间上有唯一零点;
②若,则存在实数,当时, ;
③若,则当时,.
其中正确结论的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】某观测站在目标的南偏西方向,从出发有一条南偏东走向的公路,在处测得与相距的公路处有一个人正沿着此公路向走去,走到达,此时测得距离为,若此人必须在分钟内从处到达处,则此人的最小速度为( )
A. B. C. D.
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【题目】甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏,按照规则:每人从备选的10道题中一次性抽取3道题独立作答,至少答对2道题即闯关成功.已知10道备选题中,甲只能答对其中的6道题,乙答对每道题的概率都是.
(Ⅰ)求甲闯关成功的概率;
(Ⅱ)设乙答对题目的个数为,求的分布列及数学期望.
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【题目】设等差数列满足,,
(1)求数列的通项公式;
(2)求的最大项的值;
(3)数列满足,问是否存在正整数k,使得成等差数列?若存在,求出k和m的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】合肥一中、六中为了加强交流,增进友谊,两校准备举行一场足球赛,由合肥一中版画社的同学设计一幅矩形宣传画,要求画面面积为,画面的上、下各留空白,左、右各留空白.
(1)如何设计画面的高与宽的尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小?
(2)设画面的高与宽的比为,且,求为何值时,宣传画所用纸张面积最小?
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