Question

7．设数列{a_n}的所有项都是不等于1的正数，{a_n}的前n项和为S_n，已知点${P_n}（{a_n}，{S_n}），n∈{N^*}$在直线y=kx+b上（其中常数k≠0，且k≠1）数列，又${b_n}={log_{\frac{1}{2}}}{a_n}$．
（1）求证数列{a_n}是等比数列；
（2）如果b_n=3-n，求实数k、b的值；
（3）若果存在t，s∈N^*，s≠t使得点（t，b_s）和（s，b_t）都在直线在y=2x+1上，是否存在自然数M，当n＞M（n∈N^*）时，a_n＞1恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意把点P_n（a_n，S_n）、${P_{n+1}}（{a_{n+1}}，{S_{n+1}}），n∈{N^*}$代入直线y=kx+b，整理后得到$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{k}{k-1}$，由此说明数列{a_n}是等比数列；
（2）把${b_n}={log_{\frac{1}{2}}}{a_n}$化为指数式，结合数列{a_n}是等比数列可求k值，再由${P_n}（{a_n}，{S_n}），n∈{N^*}$在直线y=kx+b上，取n=1求得b值；
（3）由${b_n}={log_{\frac{1}{2}}}{a_n}$，知a_n＞1恒成立等价于b_n＜0恒成立．结合存在t，s∈N^*，s≠t使得点（t，b_s）和（s，b_t）都在直线在y=2x+1上，推得{b_n}是首项为正，公差为-2的等差数列．再由一定存在自然数M，使$\left\{\begin{array}{l}{b_M}≥0\\{b_{M+1}}＜0\end{array}\right.$求解自然数M的最小值．

解答 （1）证明：∵P_n（a_n，S_n）、${P_{n+1}}（{a_{n+1}}，{S_{n+1}}），n∈{N^*}$都在直线y=kx+b上，
∴$\frac{{{S_{n+1}}-{S_n}}}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}=k$，
即（k-1）a_n+1=ka_n，又k≠0，且k≠1，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{k}{k-1}$为非零常数，即数列{a_n}是等比数列；
（2）解：由${b_n}={log_{\frac{1}{2}}}{a_n}$，得${a_n}={（\frac{1}{2}）^{b_n}}={2^{n-3}}$，即$\frac{k}{k-1}=2$，得k=2．
由${P_n}（{a_n}，{S_n}），n∈{N^*}$在直线y=kx+b上，得S_n=ka_n+b，
令n=1得，$b={S_1}-2{a_1}=-{a_1}=-\frac{1}{4}$；
（3）解：由${b_n}={log_{\frac{1}{2}}}{a_n}$，知a_n＞1恒成立等价于b_n＜0恒成立．
∵存在t，s∈N^*，s≠t使得点（t，b_s）和（s，b_t）都在直线在y=2x+1上，
∴b_s=2t+1，b_t=2s+1，即b_t-b_s=2（s-t），
又s=t-1，t≥2，可得b_t-b_t-1=2（t-1-t）=-2，
又b_s=b₁+（s-1）（-2）=2t+1，∴b₁=2（t+s）-1＞0，
即{b_n}是首项为正，公差为-2的等差数列．
∴一定存在自然数M，使$\left\{\begin{array}{l}{b_M}≥0\\{b_{M+1}}＜0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}2（t+s）-1+（M-1）（-2）≥0\\ 2（t+s）-1+M（-2）＜0\end{array}\right.$，解得$t+s-\frac{1}{2}＜M≤t+s+\frac{1}{2}$，
∵M∈N^*，∴M=t+s．
∴存在自然数M，其最小值为t+s，使得当n＞M（n∈N^*）时，a_n＞1恒成立．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查数列的函数特性，综合考查学生的逻辑思维能力和推理论证能力，问题（3）的设置体现了转化思想的运用，难度较大．