Question

如图所示，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，点N在BD上，点M在B₁C上，且CM=DN.

（1）求证：MN∥平面AA₁B₁B；

（2）设正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为a.问CM为何值时，MN有最小值？并求出最小值.

Answer 1

解析：要证线面平行，只要在面AA₁B₁B中找到一条直线与MN平行即可，利用正方体的性质,B₁C=BD.由CM=DN得B₁M=BN，于是作ME∥BC交BB₁于E.作NF∥AD交AB于F，利用比例线段性质证明MN EF.第（2）题利用（1）的结论，MN=EF.设BE=x,由正方形性质得CM=x,即DN=x.于是AF=x.在Rt△BEF中，建立了EF的目标函数，利用函数观点求解.?

（1）证明：作ME∥BC交BB₁于E，NF∥AD交AB于F，连结EF.∴和 又由正方体性质得BD=B₁C.?

又∵CM=DN ，∴B₁M=BN.∴.∴.?

又∵BC=AD，∴ME=NF.又AD BC,∴ME∥NF.?

∴ME NF.∴MEFN是平行四边形.∴MN EF.?

又∵EF面ABB₁A₁，MN面ABB₁A₁，?

∴MN∥面ABB₁A₁.?

（2）设BE=x,在正方形BB₁CC₁中，MC=x.?

又∵DN=CM，∴DN=x.?

在正方形ABCD中，DN=x,∴AF=x.∴FB=a -x.?

在Rt△EBF中，EF²=BE²+FB²=x²+(a-x)²=2x²-2ax+a².?

∴MN=.?

当x=时，MN的最小值为.?

因此当x=时，MN取得最小值.