Question

已知直四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面是菱形，∠ABC=60°，E、F分别是棱CC′与BB′上的点，且EC=BC=2FB=2．
（1）求证：平面AEF⊥平面AA′C′C；
（2）求截面AEF与底面ABCD的夹角的大小．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，证明线面垂直，进而证明面面垂直；
（2）先确定二面角的平面角，再计算二面角的平面角即可．

解答：解：以O为原点，OB、OC、OO′分别为x，y，z轴，建立直角坐标系，
由条件知：EC=BC=2，FB=1，OA=1，OB=

3

，从而坐标E（0，1，2），F（

3

，0，1）．
（1）连接AE与OO'交于M，连接MF，
可得MO=

1

2

EC=1，M（0，0，1），

MF

=（

3

，0，0）．
则MF⊥平面yOz，即MF⊥平面A'ACC'，
所以平面AEF⊥平面A'ACC'．
（2）取EC中点G，得平面MFG∥底面ABCD，
所以只要求面AEF与面MFG所成的二面角即可．
∵G（0，1，1），

ME

=(0，1，1)，

MG

=(0，1，0)
∴

MF

•

ME

=0，

MF

•

MG

=0
∴

MF

⊥

ME

，

MF

⊥

MG

∴∠EMG是二面角的平面角
在Rt△MGE中，EG=1，MG=1，ME=

2

，∴∠EMG=

π

4

，∴所求角为

π

4

．

点评：本题考查利用向量方法解决面面垂直、面面角，解题的关键是建立空间直角坐标系，用坐标表示向量．