Question

【题目】已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是( )
A.(2,+∞)
B.(1,+∞)
C.(-∞,-2)
D.(-∞,-1)

Answer 1

【答案】C
【解析】 ，令 ，得 ，
当 时， ，存在两个零点，不合题意；
当 时， ，所以 在 上单调增，在 单调减，在
单调增， 所以当 时 取极小值， 取极大值， ， 时， ，此时必有一个负零点，不合题意；
当 时， ， 在 上为减函数，在 为增函数，在 为减函数， 为极大值点， 为极小值点， ，若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,只需 ，解得 ,
所以答案是：C.
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的零点与方程根的关系(二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点)，还要掌握函数的零点(函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点)的相关知识才是答题的关键．