Question

已知函数f(x)=2

3

sin(π-x)+2sin(

3π

2

+x)
（1）若x∈[0，π]，求f（x）的值域；
（2）若x₀为函数y=f（x）的一个零点，求

2cos2 x0 2 -sinx0-1

2 sin(x0+ π 4 )

的值．

Answer 1

分析：（1）函数解析式利用诱导公式化简，整理后另一条两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，设这个角为t，得到y关于t的函数解析式，根据x的范围求出t的范围，利用正弦函数的定义域与值域即可求出f（x）的值域；
（2）由x₀为函数y=f（x）的一个零点，将x=x₀代入函数y=f（x）中值为0求出tanx₀的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化简后，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanx₀的值代入计算即可求出值．

解答：解：f（x）=2

3

sinx-2cosx=4sin（x-

π

6

），
令t=x-

π

6

，则y=4sint，
∵x∈[0，π]，∴t∈[-

π

6

，

5π

6

]，
则由三角函数的图象知f（x）∈[-2，4]；
（2）∵x₀为函数y=f（x）的一个零点，
∴f（x₀）=4sin（x₀-

π

6

）=2

3

sinx₀-2cosx₀=0，
∴tanx₀=

3

3

，
∴

2cos2 x0 2 -sinx0-1

2 sin(x0+ π 4 )

=

cosx0-sinx0

sinx0+cosx0

=

1-tanx0

1+tanx0

=

1- 3 3

1+ 3 3

=2-

3

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，函数的零点，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．