Question

（1）已知x＞0，y＞0，且

1

x

+

9

y

=2，求x+y的最小值．
（2）已知x，y∈R⁺，且满足

x

3

+

y

4

=1，求xy的最大值．
（3）若对任意x＜1，

x2+3

x-1

≤a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题中等式配方得x+y=5+

1

2

（

y

x

+

9x

y

），利用基本不等式求出当且仅当x=2、y=6时

y

x

+

9x

y

的最小值为6，由此即可得到x+y的最小值；
（2）利用基本不等式，得1=

x

3

+

y

4

≥2

xy 12

，平方化简即可得到当且仅当x=

3

2

，y=2时，xy的最大值为3；
（3）原不等式化简为（1-x）+

4

1-x

≥2-a，结合1-x＞0利用基本不等式求出（1-x）+

4

1-x

的最小值为4．由此讨论不等式

x2+3

x-1

≤a恒成立，可得4≥2-a，即可求出a的取值范围．

解答：解：（1）由题意得：x+y=

1

2

（x+y）（

1

x

+

9

y

）=5+

1

2

（

y

x

+

9x

y

）
∵

y

x

+

9x

y

≥2

y x • 9x y

=6------------------（3分）
∴x+y=5+

1

2

（

y

x

+

9x

y

）≥5+

1

2

×6=8，当且仅当x=2，y=6时等号成立
即x+y的最小值是8--------------------------（4分）
（2）因为x、y为正数，所以1=

x

3

+

y

4

≥2

x 3 • y 4

=2

xy 12

所以

xy 12

≤

1

2

，平方得xy≤3-------------------------------（7分）
∴当且仅当x=

3

2

，y=2时，xy的最大值为3-------------------------（8分）
（3）不等式

x2+3

x-1

≤a，即

x2+3

-x+1

≥-a
整理，得（1-x）+

4

1-x

≥2-a
∵x＜1，得1-x＞0为正数
∴（1-x）+

4

1-x

≥2

(1-x)• 4 1-x

=4
即当且仅当1-x=2，即x=-1时，（1-x）+

4

1-x

的最小值为4
因此若对任意x＜1，

x2+3

x-1

≤a恒成立，即4≥2-a，解之得a≥-2
所以a的取值范围为[-2，+∞）-----------------------------（12分）

点评：本题给出几个等式，求相应的最值，并讨论不等式恒成立．着重考查了基本不等式求最值、不等式恒成立的讨论等知识，属于中档题．