已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点B恰好是抛物线的焦点,且离心率等于,直线与椭圆C交于M,N两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)椭圆C的右焦点F是否可以为的垂心?若可以,求出直线的方程;若不行,请说明理由.
(Ⅰ);(Ⅱ)。
解析试题分析:(Ⅰ)设椭圆C的方程:,
由题意知,
∴ 椭圆C的方程为:
(Ⅱ)假设存在这样的直线,使得是的垂心,直线BF的斜率为,
从而直线的斜率为,设直线的方程为,
由,设
则,且,
,解得或
当时点B为直线与椭圆的一个交点,不合题意舍去;
当时,直线与椭圆相交两点,且满足题意;
综上可知直线的方程为时,椭圆C的右焦点F是可以为的垂心 。
考点:本题考查椭圆的基本性质、椭圆方程的求法以及直线与圆锥曲线的综合问题。
点评:本题考查了椭圆方程的求法,以及存在性问题的做法,为圆锥曲线的常规题,应当掌握。考查了学生综合分析问题的能力,知识的迁移能力以及运算能力。解题时要认真审题,仔细分析。
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(本题10分)已知,动点满足,设动点的轨迹是曲线,直线:与曲线交于两点.(1)求曲线的方程;
(2)若,求实数的值;
(3)过点作直线与垂直,且直线与曲线交于两点,求四边形面积的最大值.
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(12分)已知椭圆右焦点为,M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,且是等腰直角三角形,(1)求椭圆的方程(2)过M分别作直线MA,MB,交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为,且,证明:直线AB过定点,并求定点的坐标。
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(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,已知点,过点作抛物线的切线,其切点分别为(其中)。
⑴ 求的值;
⑵ 若以点为圆心的圆与直线相切,求圆的面积。
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已知焦点在轴上的双曲线的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线
与以点 为圆心,1为半径的圆相切,又知的一个焦点与关于直线
对称.
(1)求双曲线的方程;
(2)设直线与双曲线的左支交于,两点,另一直线经过 及的中点,求直线在轴上的截距的取值范围.
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