Question

把边长为a的正△ABC沿高线AD折成60°的二面角，这时A到边BC的距离是（　　）

• A．

  15

  4

  a
• B．

  6

  3

  a
• C．

  13

  4

  a
• D．

  3

  2

  a

Answer 1

分析：根据题意可得：△BDC为正三角形，过D作DO垂直于BC于O，可得O是BC的中点，连接AO，得到BC⊥面ADO，进而得到BC⊥AO，即AO即为点A到BC的距离，把线段AO放入直角△AOD中然后利用解三角形的有关知识求出线段AO的长．

解答：解：如图，因为AD是正△ABC的高线，所以∠BDC即为二面角的平面角，即∠BDC=60°，

又因为△ABC是边长为a的正三角形，D是边BC的中点，
所以△BDC为正三角形，并且CD=BD=BC=

a

2

，
过D作DO垂直于BC于O，
所以O是BC的中点，连接AO．
因为AD⊥底面BDC，所以AD⊥BC，
又因为DO⊥BC，并且AD∩DO=D，
所以BC⊥面ADO，所以BC⊥AO，即AO即为点A到BC的距离．
由题意可得：正三角形ABC的边长为a，所以AD=

3

2

a，
因为在正三角形BDC中，边长为

a

2

，所以BC边上的高DO=

3

4

a，
所以在直角三角形ADO中，可得AO=

( 3 2 a)2+( 3 4 a)2

=

15

4

a．
故选A．

点评：本题主要考查点到线的距离，解决此类问题的关键是首先根据线面垂直作出点到线的距离，再把此线段放入某个三角形进而利用解三角形的有关知识求出答案，此题也考查了二面角的平面角，而解决二面角问题的关键是做出二面角的平面角，一般是由图形的结构特征与题设条件并且结合二面角的平面角的定义作出平面角，也可以根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系利用向量的有关知识解决空间角等问题．