Question

已知函数f(x)=

1-x2

（1） 判断函数的奇偶性；
（2） 证明函数f（x）在[-1，0]为增函数，并判断它在[0，1]上的单调性；
（3） 求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：这道题考查的是函数最基本的性质，第一问是奇偶性的考查，首先应看定义域是否关于原点对称再用定义判断，第二问是单调性的证明及判断，直接套用单调性的定义及一的结论即可，第三问是在第二问的基础上出的，用第二问的结论即可

解答：解：（1）由1-x²≥0，得，即函数的定义域为x|-1≤x≤1，关于原点对称．
又f(x)=

1-x2

，则f(-x)=

1-x2

=f（x）
所以函数f(x)=

1-x2

是偶函数．
（2）设-1≤x₁＜x₂≤0，则f（x₁）-f（x₂）=

1-x12

-

1-x22

=

( 1-x12 - 1-x22 )( 1-x12 + 1-x22 )

1-x12 + 1-x22

=

(1-x12)-(1-x22)

1-x12 + 1-x22

=

x22-x12

1-x12 + 1-x22

=

(x2-x1)(x2+x1)

1-x12 + 1-x22

因为-1≤x₁＜x₂≤0，所以x₂-x₁＞0，x₂+x₁＜0，

1-x12

+

1-x22

＞0
所以

(x2-x1)(x2+x1)

1-x12 + 1-x22

＜0
即f（x₁）-f（x₂）＜0
所以f（x₁）＜f（x₂）
故函数f（x）在[-1，0]上是增函数．
同理可得：函数f（x）在[0，1]上是减函数．
（3）因为函数f（x）在[-1，0]上是增函数，在[0，1]上是减函数，
所以当x=0时f（x）可取最大值，
即y_max=f（0）=1

点评：函数的单调性奇偶性及最值，是常考的基本点，只要基本功好，对函数性质全面地了解，才能做到有的放矢，克服难关．