Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx(a,b为常数，且a≠0)满足条件:f(x–1)=f(3–x)且方程f(x)=2x有等根.

（1）求f(x)的解析式；

（2）是否存在实数m，n(m＜n＝，使f(x)定义域和值域分别为［m,n］和［4m,4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.

Answer 1

(1) f(x)=–x²+2x (2) 满足条件的m、n存在，m=–2,n=0

解析:

（1）∵方程ax²+bx=2x有等根，∴Δ=(b–2)²=0,得b=2.

由f(x–1)=f(3–x)知此函数图像的对称轴方程为x=–=1得a=–1，故f(x)=–x²+2x.

（2）f(x)=–(x–1)²+1≤1，∴4n≤1，即n≤

而抛物线y=–x²+2x的对称轴为x=1

∴n≤时，f(x)在［m,n］上为增函数.

若满足题设条件的m,n存在，则

又m＜n≤,∴m=–2,n=0，这时定义域为［–2,0］，值域为［–8,0］.

由以上知满足条件的m、n存在，m=–2,n=0.