Question

9．数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ+1，
①求{a_n}的通项公式
②设b_n=log₂a_n+2，求$\{\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 ①由已知条件，利用${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出{a_n}的通项公式．
②由${b_n}={log_2}{2^{n+1}}=n+1$，得$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，由此利用裂项法能求出$\{\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}\}$的前n项和T_n．

解答 解：①∵数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ+1，
∴n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^n}+1-{2^{n-1}}-1={2^{n-1}}…$①…（4分）
n=1时，a₁=S₁=3不满足①式…（5分）
∴${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}3&，{n=1}\\{{2^{n-1}}}&，{n≥2}\end{array}}\right.$…（6分）
②∵n+2≥3，b_n=log₂a_n+2，
∴${b_n}={log_2}{2^{n+1}}=n+1$…（7分），
∴$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$…（9分）
${T_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{{2（{n+2}）}}$．…（12分）

点评 本题考查数列的通项公式、前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．