【题目】已知函数f(x)=|x+ |﹣|x﹣ |;
(1)作出函数f(x)的图象;
(2)根据(1)所得图象,填写下面的表格:
性质 | 定义域 | 值域 | 单调性 | 奇偶性 | 零点 |
f(x) |
(3)关于x的方程f2(x)+m|f(x)|+n=0(m,n∈R)恰有6个不同的实数解,求n的取值范围.
【答案】
(1)解:函数f(x)=|x+ |﹣|x﹣ |= ,
作出函数f(x)的图象如图:
(2)解:由函数的图象得函数的定义域为{x|x≠0},
函数的值域为(0,2],
在(﹣∞,﹣1]和(0,1)上单调递增,
在[1,+∞)和(﹣1,0),单调递减,
函数关于y轴对称,是偶函数,
函数与x轴没有交点,无零点
(3)解:∵0<f(x)≤2,且函数f(x)为偶函数,
∴令t=f(x),则方程等价为t2+mt+n=0,
则由图象可知,当0<t<2时,方程t=f(x)有4个不同的根,
当t=2时,方程t=f(x)有2个不同的根,
当t≤0或t>2时,方程t=f(x)有0个不同的根,
若方程f2(x)+m|f(x)|+n=0(m,n∈R)恰有6个不同的实数解,等价为方程f2(x)+mf(x)+n=0(m,n∈R)恰有6个不同的实数解,
即t2+mt+n=0有两个不同的根,
其中t1=2,0<t2<2,
则n=t1t2∈(0,4).
【解析】(1)利用分段函数求出f(x)的表达式,然后作出函数f(x)的图象,(2)结合函数的图象判断相应的性质,(3)根据图象利用换元法将条件进行转化,利用数形结合即可得到结论.
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【题目】如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F分别为AC、DC的中点.
(1)求证:EF⊥BC;
(2)求二面角E﹣BF﹣C的正弦值.
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【题目】双曲线x2﹣ =1(b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , 直线l过F2且与双曲线交于A,B两点.
(1)直线l的倾斜角为 ,△F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
(2)设b= ,若l的斜率存在,且( + ) =0,求l的斜率.
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【题目】下列说法正确的是
A. 命题“”的否定是:“”
B. 命题“若,则”的否命题为“若,则”
C. 若命题为真,为假,则为假命题
D. “任意实数大于”不是命题
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【题目】已知椭圆的焦点坐标为,,过垂直于长轴的直线交椭圆于、两点,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过的直线与椭圆交于不同的两点、,则的内切圆的面积是否存在最大值?若存在求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=2x+a2﹣x , 其中常数a≠0.
(1)当a=1时,f(x)的最小值;
(2)当a=256时,是否存在实数k∈(1,2],使得不等式f(k﹣cosx)≥f(k2﹣cos2x)对任意x∈R恒成立?若存在,求出所有满足条件的k的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
(Ⅱ)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注:
参考数据:,,
,≈2.646.
参考公式:相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
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