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在平面直角坐标系中,已知向量
a
=(x,y-4),
b
=(kx,y+4)
(k∈R),
a
b
,动点M(x,y)的轨迹为T.
(1)求轨迹T的方程,并说明该方程表示的曲线的形状;
(2)当k=1时,已知O(0,0)、E(2,1),试探究是否存在这样的点Q:Q是轨迹T内部
的整点(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),且△OEQ的面积S△OEQ=2?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
分析:(1)根据
a
b
得到
a
b
=0
可求关于动点M(x,y)的方程,由圆锥曲线的性质对k进行讨论即可.
(2)先确定轨迹T的方程,然后假设存在满足条件得点Q,联立直线方程和轨迹T的方程可得答案.
解答:解:(1)∵
a
b
a
•b
=(x,y-4)•(kx,y+4)=0

得kx2+y2-16=0,即kx2+y2=16
当k=0时,方程表示两条与x轴平行的直线;
当k=1时,方程表示以原点为圆心,4为半径的圆
当k>0且k≠1时,方程表示椭圆;
当k<0时,方程表示双曲线.

精英家教网(2)由(1)知,当k=1时,轨迹T的方程为:x2+y2=42
连接OE,易知轨迹T上有两个点A(-4,0),B(4,0)满足S△OEA=S△OEB=2,
分别过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2

∵同底等高的两个三角形的面积相等,
∴符合条件的点均在直线l1、l2上.
kOE=
1
2
,∴直线l1、l2的方程分别为:y=
1
2
(x+4)
y=
1
2
(x-4)

设点Q(x,y)(x,y∈Z)∵Q在轨迹T内,∴x2+y2<16
分别解
x2+y2<16
y=
1
2
(x+4)
x2+y2<16
y=
1
2
(x-4)
-4<x<2
2
5
-2
2
5
<x<4

∵x,y∈Z∴x为偶数,在(-4,2
2
5
)
上x=-2,,0,2,对应的y=1,2,3;
(-2
2
5
,4)
上x=-2,0,2,对应的y=-3,-2,-1
∴满足条件的点Q存在,共有6个,它们的坐标分别为:
(-2,1),(0,2),(2,3),(-2,-3),(0,-2),(2,-1).
点评:本题主要考查向量的垂直和点乘之间的关系和圆锥曲线的有关问题.圆锥曲线每年必考,这种题型解题时经常是圆锥曲线和直线的联立来解决问题.
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π
2
2
)
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AC
|=|
BC
|

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π
2
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2
3
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