【题目】以表示值域为R的函数组成的集合,表示具有如下性质的函数组成的集合:对于函数,存在一个正数,使得函数的值域包含于区间.例如,当,时,,.现有如下命题:
①设函数的定义域为,则“”的充要条件是“,,”;
②函数的充要条件是有最大值和最小值;
③若函数,的定义域相同,且,,则;
④若函数(,)有最大值,则.
其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号)
【答案】①③④
【解析】
试题若f(x)∈A,则f(x)的值域为R,于是,对任意的b∈R,一定存在a∈D,使得f(a)=b,故①正确.
取函数f(x)=x(-1<x<1),其值域为(-1,1),于是,存在M=1,使得f(x)的值域包含于[-M,M]=[-1,1],但此时f(x)没有最大值和最小值,故②错误.
当f(x)∈A时,由①可知,对任意的b∈R,存在a∈D,使得f(a)=b,所以,当g(x)∈B时,对于函数f(x)+g(x),如果存在一个正数M,使得f(x)+g(x)的值域包含于[-M,M],那么对于该区间外的某一个b0∈R,一定存在一个a0∈D,使得f(a0)=b-g(a0),即f(a0)+g(a0)=b0[-M,M],故③正确.
对于f(x)=aln(x+2)+(x>-2),当a>0或a<0时,函数f(x)都没有最大值.要使得函数f(x)有最大值,只有a=0,此时f(x)=(x>-2).
易知f(x)∈[-],所以存在正数M=,使得f(x)∈[-M,M],故④正确.
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【题目】已知函数f(x)= ,曲线y=f(x)在点(e2 , f(e2))处的切线与直线2x+y=0垂直(其中e为自然对数的底数).
(1)求f(x)的解析式及单调递减区间;
(2)若存在x0∈[e,+∞),使函数g(x)=aelnx+ lnxf(x)≤a成立,求实数a的取值范围.
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【题目】某公司有A、B、C、D、E五辆汽车,其中A、B两辆汽车的车牌尾号均为1,C、D两辆汽车的车牌尾号均为2,E车的车牌尾号为6.已知在非限行日,每辆车可能出车或不出车,A、B、E三辆汽车每天出车的概率均为 ,C、D两辆汽车每天出车的概率均为 ,五辆汽车是否出车相互独立,该公司所在地区汽车限行规定如下:
工作日 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 |
限行车牌尾号 | 0和5 | 1和6 | 2和7 | 3和8 | 4和9 |
例如,星期一禁止车牌尾号为0和5的车辆通行.
(1)求该公司在星期一至少有2辆汽车出车的概率;
(2)设X表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和,求X的分布列及数学期望.
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【题目】设函数y=f″(x)是y=f′(x)的导数.某同学经过探究发现,任意一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有对称中心(x0 , f(x0)),其中x0满足f″(x0)=0.已知函数f(x)= x3﹣ x2+3x﹣ ,则f( )+f( )+f( )+…+f( )= .
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【题目】已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点 重合,且点 到直线 的距离为 , 与 的公共弦长为 .
(1)求椭圆 的方程及点 的坐标;
(2)过点 的直线 与 交于 两点,与 交于 两点,求 的取值范围.
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【题目】如图,平面α⊥平面β,α∩β=直线l,A,C是α内不同的两点,B,D是β内不同的两点,且A,B,C,D直线l,M,N分别是线段AB,CD的中点.下列判断正确的是( )
A.当|CD|=2|AB|时,M,N两点不可能重合
B.M,N两点可能重合,但此时直线AC与直线l不可能相交
C.当AB与CD相交,直线AC平行于l时,直线BD可以与l相交
D.当AB,CD是异面直线时,MN可能与l平行
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