Question

已知向量

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（3cosβ，3sinβ），若＜

a

，

b

＞=60°，则直线：xcosα-ysinα+

1

2

=0与圆：（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=1的位置关系是（　　）

A．相交

B．相交且过圆心

C．相切

D．相离

Answer 1

分析：利用向量的数量积的定义可求得cosαcosβ+sinαsinβ=

1

2

，求出圆心到直线的距离正好等于圆的半径，从而得出结论．

解答：解：由题意可得|

a

|=2，|

b

|=3，

a

•

b

=2×3×cos60°=2×3×=3，
又

a

•

b

=（2cosα，2sinα）•（3cosβ，3sinβ）=6cosαcosβ+6sinαsinβ=3，
∴cosαcosβ+sinαsinβ=

1

2

．
圆（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=1的圆心坐标为（cosβ，-sinβ），半径为1；
∵圆心（cosβ，-sinβ）到直线2xcosα-2ysinα+1=0的距离为

|2cosαcosβ+2sinαsinβ+1|

(2cosα)2+ (2si nα) 2

=

1+1

2

=1，
∴直线2xcosα-2ysinα+1=0与圆（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=1相切，
故选 C．

点评：本题主要考查了向量的数量积的定义及坐标表示，直线与圆的位置关系的判断，综合应用向量，点到直线的距离公式等知识，属于中档题．