Question

已知中心在原点的椭圆C的一个焦点为F(4,0),长轴端点到较近焦点的距离为1,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)(x₁≠x₂)为椭圆上不同的两点.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若x₁+x₂=8,在x轴上是否存在一点D,使||=||?若存在,求出D点的坐标;若不存在,说明理由.

Answer 1

(1) +=1   (2) D点存在,为(,0)  理由见解析

(1)由题知c=4,a-c=1,∴a=5,b²=9.
∴所求方程为+=1.
(2)假设存在这样一点D(x₀,0).由||=||,
则点D在线段AB的中垂线上.
又线段AB中点为(4,),
∴线段AB的中垂线方程为
y-=-(x-4)　　①
∵A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)(x₁≠x₂)是椭圆上两点,
∴+=1,+=1.
∴+=0.
∴-=·.
在①中令y=0,∴-=(x₀-4).
∴x₀=.∴D点存在,为(,0).