Question

已知函数f(x)=,x＞0.

(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,证明你的结论;

(2)若当x＞0时,f(x)＞恒成立,求正整数k的最大值.(参考数据:ln2≈0.7,ln3≈1.1)

(文) P₁是椭圆+y²=1(a＞0且a≠1)上不与顶点重合的任一点,P₁P₂是垂直于x轴的弦,A₁(-a,0),A₂(a,0)是椭圆的两个端点,直线A₁P₁与直线A₂P₂交点为P.

(1)求P点的轨迹曲线C的方程;

(2)设曲线C与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B,求曲线C的离心率e的取值范围;

(3)设曲线C与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B,O为坐标原点,且=-3,求a的值.

Answer 1

(理)解：(1)f′(x)=［-1-ln(x+1)］=［+ln(x+1)］,

∵x＞0,∴x²＞0,＞0,ln(x+1)＞0.

∴f′(x)＜0.

因此函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.                                       

(2)(方法1)当x＞0时,f(x)＞恒成立,令x=1有k＜2(1+ln2).又k为正整数,

∴k的最大值不大于3.                                                     

下面证明当k=3时,f(x)＞(x＞0)恒成立,

即证当x＞0时,(x+1)ln(x+1)+1-2x＞0恒成立.                                  

令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x,则g′(x)=ln(x+1)-1,

当x＞e-1时,g′(x)＞0;当0＜x＜e-1时,g′(x)＜0.                                 

∴当x=e-1时,g(x)取得最小值g(e-1)=3-e＞0.

∴当x＞0时,(x+1)ln(x+1)+1-2x＞0恒成立.

因此正整数k的最大值为3.                                                 

(方法2)当x＞0,f(x)＞恒成立.

h(x)=＞k对x＞0恒成立.h(x)(x＞0)的最小值大于k.           

h′(x)=,记φ(x)=x-1-ln(x+1)(x＞0),

则φ′(x)=＞0,

∴φ(x)在(0,+∞)上连续递增.

又φ(2)=1-ln3＜0,φ(3)=2-2ln2＞0,

∴φ(x)=0存在唯一实根a,且满足:a∈(2,3),即a-1-ln(a+1)=0.∴a=1+ln(a+1).          

由x＞a时,φ(x)＞0,h′(x)＞0;0＜x＜a时,φ(x)＜0,h′(x)＜0知:

h(x)(x＞0)的最小值为h(a)==a+1.               

又2＜a＜3,∴3＜a+1＜4,为使k＜h(x)对于x＞0恒成立,

因此正整数k的最大值为3.                                                 

(文)(1)解:设P₁(m,n)(mn≠0),则P₂(m,-n),

直线A₁P₁:y=(x+a);①

直线A₂P₂:y=(x-a);②                                                  

设P点坐标为(x,y),

由①②得m=,n=,                                                    

∵点P₁(m,n)在椭圆+y²=1上,

∴有m²+a²n²=a²,

即()²+a²()²=a²,整理得-y²=1(y≠0).

∴直线A₁P₁与直线A₂P₂交点P的轨迹方程是双曲线-y²=1(y≠0).              

(2)由C与l相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得(1-a²)x²+2a²x-2a²=0.

又∵a＞0且a≠1,

∴4a⁴+8a²(1-a²)＞0.

∴0＜a²＜2且a²≠1.                                                            

双曲线的离心率e=.

∴＜e＜或e＞,即e∈()∪(,+∞).                        

(3)设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

则-3==x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(1-x₁)(1-x₂)=2x₁x₂-(x₁+x₂)+1=+1,

即=-4,由a＞0,得a=.